logo-print

Faculteit Wiskunde en Informatica

De Platonische lichamen

Probleemomschrijving
Een kubus is een regelmatig lichaam. Het is opgebouwd uit zes vierkanten. Hieronder zie je in het linkerfiguur de kubus (engels: cube) in een projectie. Als je de kubus vanuit een punt projecteert op de grond dan krijg je ander beeld (figuur midden). Als je die projectie tenslotte "recht" tekent dan krijg je het rechterfiguur. Zo'n figuur heet een graaf en levert ook veel informatie over de kubus.

 

In de graaf zie je eigenlijk nog beter de 8 punten en de 12 ribben van de kubus. Ook zie je in de graaf zes gebieden: vijf aan de binnenkant en een gebied erbuiten. Die gebieden corresponderen met de zes vierkanten waaruit de kubus opgebouwd is.

Er bestaan nog meer regelmatige lichamen. Hieronder zie je op twee manieren het regelmatige achtvlak: de octaëder (engels: octahedron).

 

De octaëder bestaat uit 6 punten, 12 ribben en 8 gelijkzijdige driehoeken. Naast de octaëder zijn er nog meer regelmatige lichamen, ook wel Platonische lichamen genoemd. Het zijn er echter niet oneindig veel. Dat kun je inzien met behulp van eigenschappen van de grafen. Deze grafen voldoen namelijk allen aan de formule (van Euler):

aantal punten + aantal gebieden = aantal ribben + 2.

Door deze formule is het aantal regelmatige lichamen beperkt.

Voor wie
alle profielen

Omvang
6/8 slu

Beginkennis
Er wordt geen speciale beginkennis verondersteld.

Wat wordt er van je verwacht?
Eerst ga je op zoek naar alle platonische lichamen. Op internet, maar ook in veel boeken kun je fraaie plaatjes vinden. Ook teken je de bijbehorende grafen. Daarna zoek je uit waarom regelmatige lichamen voldoen aan de boven vermelde stelling (van Euler) en zoek je uit waarom er dan slechts eindig veel regelmatige lichamen mogelijk zijn.

Studiemateriaal
Als je deze opdracht kiest ontvang je (verwijzingen naar) studiemateriaal van je begeleidend docent. Een paar interessante sites zijn:

Interactieve Modellen van de Platonische Lichamen
Geometry in art and architecture
Ronddraaiende Platonische lichamen
Allerlei gegevens van de Platonische lichamen (oppervlakte, inhoud etc)
De Platonische lichamen (met o.a. een afleiding van de formule van Euler)
Archimedean Solid Fold-up Patterns (bouwplaten)