Deze wiskundige ging tot het oneindige om twee manieren van kijken naar de wereld te overbruggen

Als je met een microscoop naar de wereld kijkt, of met een telescoop naar het heelal, blijkt dat veel dingen kunnen worden beschreven als deeltjes: deeltjes die bewegen, wiebelen, springen, plotseling tevoorschijn springen en net zo snel verdwijnen. Deeltjes kunnen moleculen zijn, bacteriën, pixels, planten, planeten en soms zelfs mensen.

In zijn proefschrift heeft wiskundige Jasper Hoeksema de volgende vraag onderzocht: wat gebeurt er als je veel deeltjes bij elkaar zet, een paar stappen achteruit doet en je ogen een beetje dichtknijpt?

"In plaats van individuele deeltjes ga je dan ineens vage kleuren of grijstinten zien. Die komen ruwweg overeen met hoeveel deeltjes er op een bepaalde plek zijn. Hoe meer deeltjes er zijn, en hoe verder je achteruit gaat, hoe scherper dit beeld wordt. Net als een schilderij in een museum dat alleen iets voorstelt als je het van een afstand bekijkt", legt Hoeksema uit.

"Wiskundig kun je zelfs spreken over wat er gebeurt als je het aantal deeltjes tot in het oneindige neemt, en dat is precies wat ik heb gedaan."

Van micro naar macro

Het beantwoorden van deze vraag dient meer doelen dan alleen het bevredigen van wiskundige nieuwsgierigheid, zegt Hoeksema.

"Het slaat een brug tussen twee manieren om naar de werkelijkheid te kijken die vaak van elkaar verschillen. Terwijl microscopische modellen de toestand van alle deeltjes in een systeem afzonderlijk volgen, kijken macroscopische modellen naar de wereld vanuit een abstracter niveau, waarbij eigenschappen als beweging, dichtheid, snelheid en temperatuur worden beschreven."

"Neem het gedrag van minuscule scheurtjes in metalen structuren. Het is relatief eenvoudig om de manier waarop deze scheurtjes elkaar aantrekken en afstoten te beschrijven als een willekeurig (stochastisch) proces. Maar wat als je wilt verklaren hoe een metalen balk buigt? Je kunt natuurlijk proberen de inzichten die je op microscopisch niveau hebt opgedaan te aggregeren, en daaruit afleiden hoe de dingen op macroscopisch niveau werken. Maar deze berekeningen worden al snel zeer kostbaar.”

Als alternatief hebben ingenieurs alternatieve modellen bedacht die, hoewel minder rigoureus, gebruikt kunnen worden voor experimentele waarnemingen. Mijn vraag is: hoe kunnen we deze modellen samenbrengen? Hoe kunnen we een wiskundige vergelijking afleiden die past bij beide realiteiten en die ook rigoureus is?"

Twee scenario's

Hoeksema bekeek hiervoor twee scenario's: één waarbij deeltjes elkaar aantrekken en afstoten (zoals metaalscheurtjes), en één waarbij deeltjes worden toegevoegd en verwijderd (zoals veranderingen in de bevolking, ecologie en tumoren).

In beide gevallen kon hij aantonen dat als het aantal deeltjes het oneindige nadert, de dichtheid van de deeltjes steeds meer voldoet aan een bepaalde wiskundige vergelijking. Bovendien berekende hij de kansen dat de deeltjes afwijken van dit verwachte gedrag, en liet hij zien dat deze kansen steeds kleiner worden.

"Dit alles garandeert dat we uiteindelijk de posities van alle deeltjes kunnen weggooien, en ons alleen zorgen hoeven te maken over de wiskundige vergelijking zelf", zegt Hoeksema. "Met deze vergelijking kun je dan nauwkeurige voorspellingen doen over het gedrag van dynamische systemen op macroscopisch niveau, zonder dat daar enorme hoeveelheden rekenkracht voor nodig zijn."

Inhalen

Hoeksema is erg blij met de resultaten van zijn wiskundig onderzoek, dat deel uitmaakt van een breder VIDI-onderzoeksproject onder leiding van zijn promotor Oliver Tse. "Het gebeurt niet vaak dat het wiskundigen lukt het praktische onderzoek van natuurkundigen en hun modellen in te halen. Dit laat zien waarom wiskunde op theoretisch niveau ertoe doet, zelfs als de toepassingen nog tien tot twintig jaar op zich laten wachten."

Titel proefschrift: Mean-field limits and beyond: Large deviations for singular interacting diffusions and variational convergence for population dynamics. Begeleiders: Mark Peletier en Oliver Tse.